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复利_Compounding

什么是复利？​

复利是指将资产的收益（包括资本增值或利息）重新投资，以便随着时间的推移产生额外的收益。这种增长通过指数函数进行计算，因为投资不仅会从初始本金中获得收益，还会从前期累积的收益中获得。

因此，复利不同于线性增长，后者仅是本金每个周期获得利息。

关键要点​

  • 复利是将利息计入已有的本金以及已支付利息的过程。
  • 因此，复利可以被理解为“利息上的利息”——其效果是随着时间的推移放大利息收益，这就是所谓的“复利奇迹”。
  • 当银行或金融机构计算复利时，通常会使用年度、每月或每日等复利周期。
  • 复利可以发生在收益增长较快的投资上，或在即使已进行还款的情况下，所欠款项仍能增长的债务上。
  • 复利自然发生在储蓄账户；一些支付红利的投资也可能受益于复利。

理解复利​

复利通常指因为本金和累积利息所产生的利息而增加的资产价值。这一现象是“时间价值”概念的直接体现，也被称为复利。

复利在金融中至关重要，因其带来的收益是许多投资策略背后的动机。例如，许多公司提供红利再投资计划（DRIPs），允许投资者将其现金红利再投资，购买更多股票。再投资这些支付红利的股票会使投资者的回报加速，因为增加的股票数量将一致地提升未来的红利收入，假设红利保持稳定。

在再投资红利的基础上，投资红利增长股票会为这一策略增添另一层复利，有些投资者称之为“双重复利”。在这种情况下，不仅红利被再投资以购买更多股票，而且这些红利增长股票的每股分红也在增加。

复利公式​

当前资产的未来价值（FV）公式依赖于复利的概念。它考虑资产的现值、年利率、每年复利的频率（或复利周期数）和总的年数。复利的一般公式是：

FV=PV×(1+in)nt其中:FV=未来价值PV=现值i=年利率n=每周期的复利期数t=时间周期\begin{aligned}&FV = PV \times \Big (1 + \frac{ i }{ n } \Big ) ^ {nt} \\&\textbf{其中:} \\&FV = \text{未来价值} \\&PV = \text{现值} \\&i = \text{年利率} \\&n = \text{每周期的复利期数} \\&t = \text{时间周期} \\\end{aligned}

该公式假定除了利息之外，对原始本金余额没有其他的变动。

536,870,912: 想知道100%每天复利是什么样子吗？德米的民间故事《一粒米》围绕着一个奖励展开，第一天奖励一粒米，之后每天奖励的米粒数加倍，持续30天。到月底最后一天，累计奖励将超过536百万粒米。[2]

增加复利周期​

复利的效果随着复利频率的增加而增强。假设一年为一个时间周期。复利周期越多，投资的未来价值就越高；显然，每年两个复利周期要优于一个，而四个复利周期又优于两个。

为了说明这一效果，考虑以下例子。假设投资100万美元，年收益率为20%。基于不同复利周期数的未来价值如下：

  • 年复利（n = 1）：FV = 1,000,000×[1+(201,000,000 × [1 + (20%/1)] (1 x 1) = 1,200,000
  • 半年复利（n = 2）：FV = 1,000,000×[1+(201,000,000 × [1 + (20%/2)] (2 x 1) = 1,210,000
  • 季度复利（n = 4）：FV = 1,000,000×[1+(201,000,000 × [1 + (20%/4)] (4 x 1) = 1,215,506
  • 月复利（n = 12）：FV = 1,000,000×[1+(201,000,000 × [1 + (20%/12)] (12 x 1) = 1,219,391
  • 周复利（n = 52）：FV = 1,000,000×[1+(201,000,000 × [1 + (20%/52)] (52 x 1) = 1,220,934
  • 日复利（n = 365）：FV = 1,000,000×[1+(201,000,000 × [1 + (20%/365)] (365 x 1) = 1,221,336

显然，尽管复利周期的数量显著增加，未来价值增长幅度反而趋于平稳。复利在一定时间内的频率对投资的增长影响有限。这个极限被称为“连续复利”，可以用以下公式计算：

FV=P×ert其中:e=无理数 2.7183r=利率t=时间\begin{aligned}&FV=P\times e^{rt}\\&\textbf{其中:}\\&e=\text{无理数 2.7183}\\&r=\text{利率}\\&t=\text{时间}\end{aligned}

在上述例子中，连续复利的未来价值为：FV = 1,000,000×2.7183(0.2x1)=1,000,000 × 2.7183 (0.2 x 1) = 1,221,404。

注意： 复利是一种“雪球效应”的例子，其中小的影响逐渐累积，形成更大的、更加严重的状态。

复利对投资和债务的影响​

复利在资产和负债上都发挥作用。虽然复利迅速提升资产的价值，但它也可能增加贷款金额，因为未支付的本金和之前的利息会累积产生更多利息。即使进行贷款还款，复利利息也可能导致未来的欠款总额增加。

复利的概念对信用卡余额尤其棘手。信用卡债务的利率不仅高，而且利息费用可能会被添加到本金余额中，从而将来产生利息。由于这个原因，复利的影响不一定是“好”或“坏”。复利的效果可能会根据投资者的具体财务状况而有所不同。

复利示例​

为了说明复利的运作，假设账户中有10,000美元，年利率为5%。在第一个复利期结束时，账户中的总额上升到10,500美元，反映了500美元的利息增加至10,000美元本金。第二年，账户分别针对原始本金和第一年500美元的利息实现5%的增长，第二年的收益为525美元，总余额达到11,025美元。

复利示例
复利周期起始余额利息结束余额
1$10,000.00$500.00$10,500.00
2$10,500.00$525.00$11,025.00
3$11,025.00$551.25$11,576.25
4$11,576.25$578.81$12,155.06
5$12,155.06$607.75$12,762.82
6$12,762.82$638.14$13,400.96
7$13,400.96$670.05$14,071.00
8$14,071.00$703.55$14,774.55
9$14,774.55$738.73$15,513.28
10$15,513.28$775.66$16,288.95

经过10年，如果没有提款且年利率稳定在5%，账户将增长到16,288.95美元。在没有增加或提取本金的前提下，复利的影响使得第一期的余额变化从500美元增长至第十期的775.66美元。

此外，经过10年，我们的投资增长了6,288.95美元。如果该投资只支付简单利息（基于原始投资的5%），那么每年的利息仅为5,000美元（10年共500美元）。

什么是72法则？​

72法则是一种启发式的方法，用于估算在复利（或持续收益）情况下，投资或储蓄翻倍所需的时间。该规则表示，所需的年数为72除以利率。如果利率为5%且有复利，则需要大约14年零5个月才能翻倍。[4]

简单利息与复利的区别是什么？​

简单利息仅对所投资或存入的本金金额支付利息。例如，若存入1,000美元，年利率为5%，每年将赚取50美元的利息。然而，复利则对“利息上的利息”进行支付，因此在第一年你将获得50美元，而在第二年你将获得52.5美元（$1,050 × 0.05），依此类推。

如何让我的资金进行复利？​

除了复利外，投资者还可以通过再投资红利来获得复合收益。这意味着将收到的红利现金用于购买公司的额外股票，而这些股票未来也将支付红利。

哪种平均数最适合复利？​

金融中使用的平均数计算有多种。当计算具有复利的投资或储蓄账户的平均收益时，最好采用几何平均数。在金融中，这有时被称为时间加权平均收益或复合年增长率（CAGR）。

哪种复利的最佳示例？​

高收益储蓄账户是复利的很好示例。假设你在储蓄账户中存入1,000美元。第一年，你将赚取一定金额的利息。如果你不花费账户中的任何资金，并且利率至少保持在前一年的水平，那么第二年的利息收入将更高。这是因为储蓄账户将获得的利息加到现金余额中，从而产生更高的利息。

总结​

复利和复利对投资者的财务成功具有重要作用。如果你利用复利，你将更快地赚到更多的钱；如果你承受复利债务，你将长时间陷入越来越大的债务中。通过复利，财务余额能够以指数方式快于线性利息增长。

参考文献​

[1] Donna Kirk et al. “Contemporary Mathematics: 6.4 Compound Interest.” OpenStax, 2023.

[2] Barnes & Noble. “One Grain of Rice: a Mathematical Folktale.”

[3] Gilbert Strang et al. “Calculus Volume 1: 1.5 Exponential and Logarithmic Functions.” OpenStax, 2016.

[4] Investor.gov. “What Is Compound Interest?”