大数法则_Law of Large Numbers
大数法则是什么？
大数法则适用于概率和统计学。它指出，随着样本量的增长，样本的平均值会越来越接近整个群体的平均值，因为较大的样本更能代表整个群体。
在金融背景下，大数法则表明，快速增长的大型实体无法永远维持这种增长速度。市值达到数千亿的蓝筹股常常被作为这一现象的典型例子。
主要要点
- 大数法则表明，一个大样本的观测平均值将接近真实的人群平均值，并且随着样本规模增大，这一接近度会加深。
- 大数法则并不保证某个特定样本能反映真实的人群特征，尤其是当样本较小时。
- 它也不保证不反映真实人群特征的样本后续会被另一个样本平衡。
- 大数法则表明，较大的样本将更能够代表人群的平均水平。集中趋势定理则表明，更大的样本将代表人群的分布。
- “大数法则”这一术语有时在商业中以不同的含义使用，表达规模与增长率之间的关系。
理解大数法则
大数法则可以从两个方面进行理解。
在统计分析中，大数法则可应用于多种主题。对特定人群中的每一个个体进行调查以收集所需数据量可能并不现实，但每增加一个数据点都有可能提高结果是均值的真实测量的概率。
大数法则并不意味着给定的样本或一系列连续样本总是反映真实的人群特征，尤其是当样本或样本系列偏离真实人群的平均值时。它也不保证连续样本会将观察到的平均值向人群均值推进，如同赌徒谬论所暗示的那样。
“大数法则”这一术语在商业中的使用有时与增长率相关。它以百分比的形式表达，暗示在企业扩张时，增长率的维持会变得越来越困难。即使增长率的百分比保持不变，背后的美元金额也在不断增加。
重要提示： 大数法则不应与平均法则混淆，后者指出大样本或小样本中结果的分布反映了人群结果的分布。
大数法则的统计分析实例
如果你想确定由100个可能值构成的数据集的平均值，选择20个数据点而不是仅仅依赖两个数据点，更可能得到准确的平均值。两个数据点极有可能是离群值，或非代表性的，而20个数 据点全部非代表性的概率较低。
如果数据集中包含从1到100的所有整数，而你只抽取了95和40两个值，那么你的平均值可能会被确定为大约67.5。如果你继续随机抽样最多到20个变量，随着考虑的数据点增多，平均值应该逐步向真实平均值靠拢。
大数法则与中心极限定理
大数法则与中心极限定理在统计分析中相关。中心极限定理表明，样本均值将随着样本量的增加而均匀分布。这通常表现为一个钟形曲线，曲线的峰值是均值，样本数据的均匀分布在曲线的左右两侧。
大数法则还表明，随着样本的增大，数据会变得更加精确，而大数法则更加接近于钟形曲线的中心。它指出，样本的均值将更加接近人群的均值，随着样本量的增加。因此，大数法则与曲线的峰值或均值相关，而中心极限定理则与曲线的分布相关。
大数法则与商业增长
“大数法则”这一术语在商业和金融领域有时口语化使用，指 exponential growth rates 这种现象在规模扩大时往往难以维持。这与大数法则无关，但可能是边际收益递减法则或规模不经济的结果。
相同的原则也适用于市场资本化或净利润等其他指标。投资决策可以根据市值极高的公司在股票升值方面所经历的相关困难进行指导。这个概念在成长股与价值股之间相当核心，因为公司可 能利用这一点在市场成功后维持快速增长的商业策略。
大数法则的商业实例
特斯拉在2020财年报告的汽车销售额为246.04亿美元，而在次年则为441.25亿美元，增长约79%。”[1] 电动汽车是一个新兴市场，特斯拉开始体验到规模经济，快速获得成功。
大数法则表明，随着特斯拉公司的持续增长，维持这种生产水平将变得更加困难。显然，在假设几年的稳定增长率下，特斯拉不能保持当前的增长轨迹，因为背后的美元价值变得不合理。
|理论特斯拉汽车收入 |---|---| |年份|收入|备注 |2021|441.0亿美元|实际 |2022|790.0亿美元| |2023|1414.0亿美元| |2024|2531.0亿美元|将超过苹果截至2022年3月的六个月总净销售额。2 |2025|4530.0亿美元| |2026|8109.0亿美元|将几乎是福特2021年全年收入（1363.0亿美元）的六倍。3 |2027|1451.0万亿美元|几乎等于2021年前20大汽车制造商的总汽车销售额（1.7万亿美元）。4
大数法则与保险
大数法则在保险行业中同样显著。它用于计算和精化预期风险。
想象一个场景，保险公司评估为车险向客户收取多少费用。如果数据集较小，公司将无法充分确定合适的风险概况。
随着收集数据量的增加，这家公司就会体验到大数法则。它可能很快发现，年轻的男性司机最可能发生事故。这个更大的样本，更能代表驾驶事件的发生，保险公司就能对此作出 更准确的保险费判断。
大数法则还使得保险公司能够通过分析什么特征导致更高风险，深入精细化评估保险费的标准。
为什么大数法则重要？
大数法则在统计分析中很重要，因为它为样本量提供了有效性。当你用少量数据进行分析时，你做出的假设可能无法适当地转化为实际人群，因此确保捕捉足够的数据点以适当地代表整个数据集是很重要的。
大数法则在设定公司目标时也很重要。一家公司可能在一年内将收入翻倍。如果它在接下来的一年仅实现50%的收入增长，那么它过去两年会赚得同样多的钱。百分比可能会造成误导，因为大额美元价值在激增。
公司如何克服大数法则的挑战？
公司通常通过收购可以实现可扩展增长的小型增长型公司来克服大数法则的挑战。它们也试图提高效率，并利用自身规模在制造、订购或分销方面的优势。公司可以更关注美元目标，而不是百分比目标。
小数法则是什么？
小数法则是指人们低估小样本的变异性。当样本量过小时，他们通常会基于不正确的样本量高估 人群的价值。
小数法则在心理学中是什么意思？
在心理学中，大数法则体现为较多试验的次数通常会导致更准确的期望值。随着试验次数的增加，预测变得更接近正确的医学评估。
总结
在分析数据集时，确保理解大数法则以判断你的样本量是否能代表整个群体。但是在分析公司时，要注意样本的规模。大数法则表明，随着公司规模的增大，维持增长的百分比变化将变得更加困难，因为背后大额的变化额度在不断增加。
参考文献
[1] U.S. Securities and Exchange Commission. "Form 10-K, Tesla, Inc."
[2] Apple. "Form 10-Q, Q2 2022."
[4] Factory Warranty Tools. "Top Automakers by Revenue."