方差分析_Analysis of Variance
方差分析（ANOVA）是一种统计检验，用于评估三个或更多组的均值差异。其核心功能在于，ANOVA能够同时比较多个组之间的算术均值，帮助确定观察到的差异是否由随机偶然引起，还是反映了真实、有意义的区别。
单因素ANOVA使用一个自变量，而双因素ANOVA则使用两个自变量。分析师使用ANOVA检验在回归研究中确定自变量对因变量的影响。虽然这种方法对初学统计的人来说可能显得晦涩难懂，但ANOVA的应用领域广泛而深远。从医疗研究人员研究新疗法的有效性，到市场营销人员分析消费者偏好，ANOVA已成为理解复杂系统和制定基于数据的决策不可或缺的工具。
关键要点
- ANOVA是一种统计方法，可以同时比较多个组的均值，以确定观察到的差异是否由于偶然性引起，还是反映了真实的区别。
- 单因素ANOVA使用一个自变量，双因素ANOVA使用两个自变量。
- 通过将总方差分解为多个组成部分，ANOVA揭示了变量之间的关系，并识别 出真正的变异来源。
- ANOVA能够处理多个因素及其交互作用，为更好地理解复杂关系提供了一种稳健的方法。
使用ANOVA
当数据需要进行实验时，可以应用ANOVA检验。如果无法使用统计软件，ANOVA也可以手动计算，操作简单，尤其适用于涉及受试者、小样本的测试组和组间比较。
ANOVA类似于多个两样本t检验，但它产生的第一类错误（即错误地拒绝原假设）更少。ANOVA通过比较每个组的均值，将差异归类，并将方差传播到不同的来源。分析师使用单因素ANOVA来分析有关一个自变量和一个因变量的收集数据，而双因素ANOVA则使用两个自变量。自变量应至少有三个不同的组或类别，ANOVA确定因变量是否根据自变量的水平而变化。
例如，研究人员可以测试来自不同大学的学生，以观察某一所大学的学生是否在表现上显著优于其他学校的学生。在商业应用中，研发人员可能会比较两种产品制作方式，以确定哪种方式在成本效率上更优。
ANOVA的多样性和处理多个变量的能力使其成为各领域研究人员和分析师的重要工具。通过比较均值和分解方差，ANOVA提供了一种稳健的方式来理解变量之间的关系，并识别出组与组之间的显著差异。
ANOVA的历史
20世纪发展起来的t检验和z检验方法被用于统计分析。1918年，罗纳德·费舍尔提出了方差分析方法，因此ANOVA也被称为费舍尔方差分析，它是t检验和z检验的扩展。这个术语在1925年首次出现在费舍尔的著作《研究工作者的统计方法》中，随后广为人知。ANOVA最初被用于实验心理学，后来扩展到了其他学科。
ANOVA检验是分析影响特定数据集因素的第一步。测试完成后，分析师会对可能对数据不一致性有显著贡献 的因素进行进一步测试。分析师利用ANOVA测试结果进行F检验，以生成与所提出的回归模型一致的进一步数据。
ANOVA揭示了什么
ANOVA将观察到的数据集内部的聚合变异性分为两部分：系统性因素和随机性因素。系统性因素影响数据集，而随机性因素则不影响。
ANOVA检验使得可以同时比较两个以上的组，以确定它们之间是否存在关系。ANOVA公式的结果，即F统计量或F比率，允许分析多个数据组，以评估样本间的变异性和样本内的变异性。
如果被检验的组之间没有真正的差异，即原假设成立，ANOVA的F比率统计结果将接近于1。F统计量的所有可能值的分布称为F分布，这是一组具有两个特征数（两个自由度）的分布函数。
单因素与双因素ANOVA
单因素ANOVA
- 使用一个自变量或因素
- 评估单个分类变量对连续因变量的影响，识别组均值之间的显著差异
- 不考虑变量之间的交互作用
双因素ANOVA
- 使用两个自变量或因素
- 不仅用于理 解两个不同因素的单独影响，还可以检验这两个因素的组合如何影响结果
- 可以测试因素之间的交互作用
单因素ANOVA评估单一因素对单个响应变量的影响，确定各样本是否相同。单因素ANOVA用于判断三个或更多独立组的均值之间是否存在统计学上显著的差异。
双因素ANOVA是单因素ANOVA的扩展。在单因素ANOVA中，仅有一个自变量影响因变量，而双因素ANOVA中有两个自变量。例如，双因素ANOVA允许公司根据薪水和技能组合对工人的生产力进行比较。它用于查看两个因素之间的交互作用，并同时测试这两个因素的影响。
ANOVA示例
假设您希望评估不同投资组合在各种市场条件下的表现，目的是确定哪种投资组合策略在何种条件下表现最佳。
您有三种投资组合策略，同时想要检验两种市场条件：
单因素ANOVA可以提供投资组合策略表现的总体概述，而双因素ANOVA则通过包含不同的市场条件，提供更深入的理解。
可以用单因素ANOVA初步分析三种不同投资组合之间的表现差异，而不考虑市场条件的影响。自变量为投资组合的类型，因变量为产生的回报。
您将对技术型、平衡型和固定收益型投资组合在预设期间的回报进行分组，并比较这三种投资组合的平均回报，以判断是否存在统计学上显著的差异。这将有助于确定不同的投资策略是否导致不同的回报，但不会考虑不同市场条件如何影响这些回报。
与此同时，双因素ANOVA将更适合同时分析投资组合和市场条件的影响以及这两个因素对回报的交互作用。
重要提示： 多元方差分析（MANOVA）与ANOVA的主要区别在于，MANOVA同时检验多个因变量，而ANOVA每次只评估一个因变量。
您需要首先将每个投资组合在牛市和熊市条件下的回报进行分组。接下来，比较两种因素之间的均值回报，以判断投资策略对回报的影响、市场条件对回报的影响，以及特定投资策略的有效性是否依赖于市场条件。
假设技术型投资组合在牛市条件下表现显著优于其他，而在熊市下回报不佳，固定收益型投资组合则在不同市场条件下提供稳定的回报。分析这些交互作用可以帮助您了解在何时建议使用技术型投资组合以及在何种熊市条件下转向固定收益型投资组合更为明智。
ANOVA与t检验的区别
与t检验不同，ANOVA可以比较三个或更多组，而t检验只适用于两个组的比较。
什么是协方差分析（ANCOVA）？
协方差分析结合了ANOVA和回归，能够有效理解ANOVA检验未能解释的组内方差。
ANOVA是否依赖于任何假设？
是的，ANOVA检验假设数据符合正态分布，且每组的方差水平大致相等。最后，假设所有观察是独立进行的。如果这些假设不准确，则ANOVA可能不适合用于组间比较。
结语
ANOVA是一种强大的统计工具，允许研究人员和分析师同时比较多个组的算术均值。通过将方差分解为不同的来源，ANOVA帮助识别显著差异并揭示变量之间的有意义关系。其多功能性和处理各种因素的能力使其成为包括金融和投资在内的许多统计应用领域中不可或缺的工具。
理解ANOVA的原理、形式和应用对于有效利用这一技术至关重要。无论使用单因素ANOVA还是双因素ANOVA，研究人员都可以更清晰地理解复杂系统，从而做出基于数据的决策。与任何统计方法一样，仔细解读结果并考虑分析的背景和局限性也至关重要。
参考文献
[1] Genetic Epidemiology, Translational Neurogenomics, Psychiatric Genetics and Statistical Genetics-QIMR Berghofer Medical Research Institute. "The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance."
[2] Ronald Fisher. "Statistical Methods for Research Workers." Springer-Verlag New York, 1992.