条件概率_Conditional Probability
条件概率是什么
条件概率是概率论中的一个基本概念，它涉及到在已知一个事件已经发生的情况下，另一个事件发生的概率。
条件概率包含两个或多个彼此相关的事件，并提出了这样一个问题：“如果我们知道事件A发生了，事件B发生的机会有多大？”条件概率的计算方法是将先前事件的概率与后续事件（即条件事件）更新后的概率相乘。
关键要点
- 条件概率是指在另一个事件（B）已经发生的情况下，某个结果（A）发生的概率。
- 在概率表示中，这通常写作“在B的条件下A发生”：P(A|B)，表示A发生的概率依赖于B发生的概率。
- 条件概率与无条件概率（或边际概率）相对。
- 概率可以分为条件概率、边际概率（不依赖于其他事件的基 础概率）和联合作用概率（两个事件同时发生的概率）。
- 贝叶斯定理是一个可以用来计算与不确定事件相关的条件概率的数学公式。
理解条件概率
条件概率衡量某一特定结果（A）基于某个先前事件（B）的发生的可能性。
如果事件的发生不影响其他事件的发生概率，则这两个事件被称为独立事件。然而，如果一个事件的发生（或不发生）会影响另一个事件发生的可能性，则这两个事件是相关的。
一个相关事件的例子是，一家公司在报告超出预期的盈利后，其股票价格随之上涨。
如果事件是独立的，那么事件B发生的概率与事件A的发生与否无关。例如，苹果公司股票的上涨与小麦价格的下跌没有关系。
条件概率通常表示为“在B的条件下A发生”，记作P(A|B)。
- 条件概率与无条件概率形成对比。后者也称为边际概率，它度量一个单一事件的发生概率，而不依赖于任何其他事件。相比之下，条件概率则确定了一个事件在另一个事件发生的情况下的可能性，从而将它们联系起来。
- 独立事件的概率没有这种互相关联，而是孤立地查看某个事件的概率，因为该事件被认为是独立的。
- 联合作用概率是两个事件同时发生的概率。从这些概念出发，可以得到贝叶斯定理，它提供了一种在数学上翻转条件概率的方法。如果你知道事件B发生的概率是基于事件A的情况，你可以反向计算在B的条件下A的条件概率。
总体而言，虽然边际概率和联合作用概率测量单独和成对事件的可能性，条件概率则可以测量事件之间 的先后关系和依赖关系。
注意： 条件概率在保险、经济、政治以及不同数学领域中应用广泛。
条件概率公式
或者：
其中字母代表以下含义：
P = 概率
A = 事件A
B = 事件B
重要： 无条件概率，也称为边际概率，度量某件事情发生的机率，而不考虑任何先前或外部事件的知识。由于此概率也忽略新信息，因此保持不变。
条件概率的例子
以彩球为例进行条件概率的说明，步骤如下：
步骤1：理解场景
一开始，你有一个袋子，里面有六个红球、三个蓝球和一个绿球。因此，袋子里总共有10个球。
步骤2：识别事件
定义两个事件：
- 事件A：从袋子里抽取一个红球
- 事件B：抽取一个不是绿球的球
步骤3：计算事件B的概率：P(B)
事件B是抽取一个不是绿球的球。总共有10个球，其中9个不是绿球：6个红球和3个蓝球。
步骤4：识别事件A和B的交集：P(A∩B)
事件A和B的交集涉及抽到一个红色且不是绿球的球。由于所有红球都不是绿球，交集很简单：抽取一个红球的事件。
步骤5：计算事件A和B交集的概率：P(A∩B)
步骤6：计算条件概率：P(A|B)
使用条件概率公式P(A|B)，即在抽取的球不是绿球的情况下抽取红球的概率，进行计算。
结果：在抽取的球不是绿球的条件下，抽取红球的条件概率为2/3。
另一个例子是关于使用公平的六面骰子。步骤如下：
步骤1：理解场景
你有一个公平的六面骰子。你想要确定在掷出的数字大于4的条件下，掷出一个偶数的概率。
步骤2：识别事件
对于六面骰，可能的结果（样本空间）是1到6的数字。从中可以定义两个事件：
- 事件A：掷出一个偶数。事件A意味着掷出的数字是6。
- 事件B：掷出一个大于4的数字。事件B意味着掷出的数字是6。
步骤3：计算每个事件的概率
每个事件的概率可以通过将有利结果的数量（你所寻找的结果）除以样本空间中的总结果数来计算。
P(A)是掷出偶数的概率。在六个可能结果中，有三个偶数6。因此，P(A) = 3/6 = 1/2。
P(B)是掷出大于4的数字的概率。在六个可能结果中，只有两个数字大于46。因此，P(B) = 2/6 = 1/3。
步骤4：识别事件A和B的交集
事件A和B的交集包括同时满足两个条件的结果。在这种情况下，只有一个结果既是偶数又大于4，即掷出6。
步骤5：计算事件A和B交集的概率
即使前面内容简单，我们还是要详细说明：P(A∩B)是掷出6的概率，因为6是唯一一个既是偶数又大于4的结果。在六个可能性中，只有一个结果。所以P(A∩B) = 1/6。
步骤6：计算条件概率：P(B|A)
条件概率的公式如下：
将数值代入公式，结果如下：
结果：这意味着，在掷出的数字是偶数的情况下，这个数字大于4的概率为1/3。
另一个场景涉及一名学生申请大学入学，同时希望得到学费和生活费的补贴。确定获得补贴和奖学金的条件概率的步骤如下：
步骤1：理解场景
学生希望了解被大学录取的可能性。如果被录取，学生希望获得学术奖学金。而且，如果可能的话，希望在获得奖学金 的情况下，再获得图书、餐食和住房的补贴。
步骤2：识别事件
有三个事件：
- 事件A：被大学录取。
- 事件B：被录取后获得奖学金。
- 事件C：在获得奖学金后获得图书、餐食和住房的补贴。
步骤3：计算被录取的概率（事件A）
大学在每1000份申请中录取100人。因此，学生被录取的概率是P(A) = 100/1000 = 0.10或10%。
步骤4：确定被录取后获得奖学金的概率：P(B|A)
已知在被录取的学生中，每500人中有10人获得奖学金。因此，被录取后获得奖学金的概率如下：
步骤5：计算被录取并获得奖学金的概率
为了计算被录取并获得奖学金的概率，需要将被录取的可能性与在被录取后获得奖学金的条件概率相乘。
步骤6：确定在获得奖学金的情况下获得补贴的概率：P(C|B)
已知在获得奖学金的学生中，有50%会获得图书、餐食和住房的补贴。因此，P(C|B) = 0.5 = 50%。
步骤7：计算被录取、获得奖学金并获得补贴的概率
为了计算学生被录取、获得奖学金，并进一步获得补贴的概率，需要将这些事件的概率相乘。
这一分步骤的分析展示了如何使用基本概率公式和条件概率计算每种场景的概率。
条件概率与联合作用概率及边际概率的比较
现在让我们区分条件概率与其他类型概率的计算。
这次以一副标准扑克牌为例。定义两个事件：
- 事件A：抽到一张四。
- 事件B：抽到一张红牌。
标准扑克牌有52张牌，分为四种花色（红心、方块、梅花和黑桃）。红心和方块是红色的，梅花和黑桃是黑色的。每种花色有13张牌：从Ace到10，再到面牌J、Q和K。
这副牌中包含26张红牌，其中13张红心和13张方块。因此，抽到一张红牌的概率是P(B) = 26/52 = 1/2。
在红牌中有一张红心四和一张方块四。因此，如果需要抽一张红牌，就必须考虑只包含这26张红牌的子集。
在已抽到红牌的情况下，这张牌是四的概率计算如下：
边际概率P(A)是指事件A单独发生的概率。它不考虑任何其他事件的发生。
由于事件A是抽到一张四，则P(A)通过将四的数量除以总牌数来计算。
联合作用概率是两个或更多事件同时发生的可能性。这通常被表示为P(A∩B)，即事件A和B同时发生的概率。
假设之前的事件保持不变，即事件A是抽到一张四，事件B是抽到一张红牌，我们可以找到同时抽到一张四和红牌的联合作用概率。
满足两个条件的牌有两张，红心四和方块四。因此，抽到一张四且是红牌的联合作用概率计算如下：
贝叶斯定理与条件概率
贝叶斯定理用于在处理不确定事件时计算条件概率。这在投资时，可以在获取新相关数据后更新市场结果的概率估计。
例如，假设你想知道S&P 500在今年会返回正百分比的概率，前提是初始的国内生产总值（GDP）数据。在这种情况下，你会首先使用贝叶斯定理，考虑指数的历史回报率，以获得初步的经济扩张预期。
然后你会根据最新的GDP预测来修正这个初步概率。这将提供更精细的概率评估，使得所有证据在年度进展中得以整合。
尽管在数学上略显复杂，贝叶斯定理却是相当合乎逻辑的。如果投资者发现新的经济信息与潜在市场回报相关，那么整合这些数据以获得更精确的计算 是合理的。
这一统计技术由18世纪的英国牧师托马斯·贝叶斯制定，至今在金融建模以及其他需要在不确定条件下预测的领域中占据中心地位。
注意： 贝叶斯定理非常适用于机器学习，并在该领域广泛应用。
什么是条件概率计算器？
条件概率计算器是一个在线工具，能够计算条件概率。它提供第一个和第二个事件发生的概率，从而省去用户手动进行数学计算的麻烦。
概率与条件概率的区别是什么？
概率关注一个事件发生的可能性。条件概率关注两个事件发生之间的关系，更具体来说，条件概率是基于第一个事件发生的基础上，第二个事件发生的概率。
什么是先验概率？
先验概率是在收集任何数据之前某事件发生的概率。它是由先前的信念决定的。在贝叶斯统计推断中，先验概率是一个部分，因为你可以修正这些信念，并在数学上得到后验概率。
什么是复合概率？
复合概率旨在确定两个独立事件发生的可能性。复合概率将第一个事件的概率与第二个事件的概率相乘。最常见的例子是掷两次硬币并找出第二次的结果是否与第一次相同。
结论
条件概率考察一个事件发生的可能性，基于先前事件发生的概率。第二个事件依赖于第一事件的发生。
例如，我们可能想知道某只股票在其行业指数上升的情况下会上涨的概率。条件概率计算同时考虑了第一个事件的可能性（股票价格上涨）以及这两个事件之间的重叠情况。