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标准差_Standard Deviation

什么是标准差？​

标准差是一种统计测量工具，用于评估数据集中每个数据点与该数据集均值的分散程度。如果数据点距离均值较远，则表示数据集中的偏差较大。标准差的计算方式是取方差的平方根。

关键要点：​

  • 标准差度量数据集相对于其均值的分散程度。
  • 计算方法为方差的平方根。
  • 在金融领域，标准差常被用作资产相对风险的衡量指标。
  • 一个波动性大的股票具有较高的标准差，而稳定的蓝筹股的标准差通常较低。
  • 企业利用标准差评估风险、管理运营以及根据季节变化和波动性规划现金流。

标准差的运作原理​

标准差是金融和投资领域中常用的统计测量工具。当应用于投资的年回报率时，它能够提供有关该投资历史波动性的信息。这意味着它显示了该投资的价格随时间波动的程度。

证券的标准差越大，价格与均值之间的差异就越大，显示出更大的价格范围。例如，波动性大的股票具有高标准差，表示其价格频繁上下波动。相对而言，稳定的蓝筹股的标准差通常较低，意味着其价格通常保持稳定。

标准差还可用于预测表现趋势。例如，在投资中，指数基金旨在复制基准指数，这意味着该基金的标准差与基准值之间将保持较低。

另一方面，激进增长基金往往与相对股票指数之间有较高的标准差。这是因为投资组合经理会采取激进的投资策略，以获取高于平均水平的回报。这种较高的标准差与投资者可以从该指数中预期的风险水平相关联。

分析师、投资组合经理和顾问使用标准差作为主要的基本风险测量指标。投资公司会报告其共同基金及其他产品的标准差。较大的分散程度显示基金回报与预期正常回报之间的偏差。由于其易于理解，这一统计数据常常向最终客户和投资者报告。

标准差将所有不确定性视为风险，即便这种风险对投资者而言是有利的，比如超出平均的回报。

标准差公式​

标准差通过取一个值的平方根，该值源于将数据点与总体均值进行比较。其计算公式为：

标准差的计算方法如下：

标准差的主要性质​

标准差的一个关键性质是可加性。这意味着多个随机变量的和的标准差可以进行比较。这使得使用标准差的分析师或研究人员能够比较多个数据点，而不是仅仅基于单个数据点的分析得出结论，从而提高准确性。

标准差的另一个性质是尺度不变性。这在比较不同测量单位的数据集的变异性时尤其有用。例如，一个数据集以英寸为单位，另一个以厘米为单位，它们的标准差仍可以直接比较，而无需转换单位。

最后，标准差具有对称性和非负性。这意味着标准差总是为正，并且围绕均值对称分布。这种对称性意味着均值上方的偏差与均值下方的偏差相互平衡，导致整个数据集的总平衡。始终为正的性质使得在比较数据集中的标准差时，标准差具备更高的可比性。

标准差与方差​

方差和标准差是相关的统计数据。方差是通过计算数据点的均值，然后将每个数据点与均值相减，接着将这些结果平方，并对这些平方值取平均值得到的。标准差则是方差的平方根。

方差有助于决定数据相对于均值值的分散大小。当方差增加时，数据值的变异性增加，数据值之间的差距也可能增大。如果数据值彼此接近，则方差会较小。然而，相较于标准差，方差更难以理解，因为方差代表的是平方结果，可能无法在与原始数据集相同的图表上有意义地表达。

标准差通常更易于可视化和应用。标准差以与数据相同的测量单位表示，而方差不一定是如此。通过使用标准差，统计学家可以确定数据是否具有正态分布或其他数学关系。

如果数据遵循正态分布，则68%的数据点将落在均值的一个标准差范围内。较大的方差使得更多数据点落在标准差之外，而较小的方差则导致更多数据接近均值。

重要提示： 标准差在图形上表现为数据集均值周围的钟形曲线宽度。曲线越宽，数据集的标准差从均值的偏离程度就越大。

标准差在商业中的应用​

标准差不仅仅用于投资。商业分析师或公司可以以多种方式使用标准差来评估风险、进行预测和管理公司运营。

标准差在商业中广泛用于风险管理。它帮助企业量化和管理各种类型的风险。通过计算某些结果的标准差，企业可以评估与其运营相关的波动性或不确定性。例如，一家公司可以使用标准差来衡量不同产品被退货的风险。

在财务和会计领域，标准差用于分析财务数据和评估财务绩效指标的变异性。例如，标准差被用于测量投资回报的波动性。这可以用于确定风险与回报之间的权衡，以及公司希望如何配置资本的策略。

标准差在销售预测中用于评估销售数据的变异性和预测未来销售趋势。标准差有助于企业识别销售数据中的季节性、趋势和模式，从而使它们能够筹划近期的现金需求。

在制造和运营管理中，标准差被用于监控和提高产品质量。标准差也被用于质量控制流程，如六西格玛方法，以衡量过程能力、减少缺陷并优化制造过程以提升质量和客户满意度。

在项目管理中，标准差用于评估项目绩效和管理风险。例如，标准差可以与关键路径分析和赚取价值相关联，用于评估偏差、跟踪进度和量化与未达成关键路径或赚取价值相关的风险。

标准差的优缺点​

与任何用于分析数据的统计测量一样，标准差在使用之前应考虑其优缺点。

优势​

  • 使用广泛
  • 包含所有数据点
  • 可以合并数据集
  • 进一步的计算用途

局限性​

  • 不测量分散度

  • 极端值的影响

  • 手工计算困难

  • 使用广泛：标准差是一个常用的分散度测量工具。许多分析师可能比起其他统计数据的偏差计算，更熟悉标准差。正因如此，标准差被各种专业人士使用，从投资者到精算师。

  • 包含所有数据点：标准差在观察中是全面的。每个数据点都包含在分析中。而其他的偏差测量方法，如极差，仅测量最分散的点，而不考虑之间的点。因此，标准差通常被视为一种比其他观察方法更为稳健、准确的测量。

  • 可以合并数据集：两个数据集的标准差可以通过特定的组合标准差公式进行合并。在其他散布观察测量中没有类似的公式。

  • 进一步的计算用途：与其他观察方式不同，标准差可以用于进一步的代数计算，意味着标准差具有一定的灵活性。

  • 不测量分散度：标准差并不实际测量数据点距离均值的远近。相反，它比较的是差异的平方，这与实际的均值偏离存在细微但显著的差别。

  • 极端值的影响：极端值对标准差有更大的影响。这一事实尤其显著，因为与均值的差异被平方，因而在数量上比其他数据点更大。因此，需注意，标准观察自然会给予极端值更大的权重。

  • 手工计算困难：与其他如极差（最高值减去最低值）等分散测量方式相比，标准差需要经过几个繁琐的步骤计算，并且相较于更简单的测量更容易出现计算错误。这个难题可以通过使用彭博终端来规避。

提示： Excel可以用来计算标准差。输入数据后，如果数据集为数值型，使用STDEV.S公式；如果要包括文本或逻辑值，则使用STDEVA公式。还有几种特定的公式用于计算整个总体的标准差。

标准差实例​

如果你有数据点5、7、3、7并想要找到标准差，首先将它们相加：

通过将总和除以数据点的数量（在本例中为4）来找到数据集的均值。

这使你得到x̄ = 5.5，N = 4。

要找到方差，将均值从每个数据点中减去，然后对每个值进行平方：

将这些平方值相加，然后将结果除以N-1，以得到方差。

取3.67的平方根得到标准差，约为1.915。

另一个例子是考虑苹果公司（AAPL）连续五年的股票表现。苹果股票2019年的历史回报为88.97%，2020年为82.31%，2021年为34.65%，2022年为-26.41%，到2023年4月为28.32%[1]。因此，五年的平均回报为41.57%。

每年回报值减去均值的值分别为47.40%、40.74%、-6.92%、-67.98%和-15.57%。然后将这些值平方，得出22.47%、16.60%、0.48%、46.21%和2.42%。这些值的总和为0.882。将该值除以4（N减去1）得到方差（0.882/4）= 0.220。

方差的平方根为0.4690，即46.90%的标准差。

高标准差意味着什么？​

较大的标准差表明观察到的数据在均值周围有很大的变异性。这表明所观察的数据相当分散。较小或低的标准差则表明，观察到的数据更多地聚集在均值附近。

标准差告诉你什么？​

标准差描述的是一组数据的分散程度。它将每个数据点与所有数据点的均值进行比较，标准差返回一个计算值，描述这些数据点是近距离聚集还是广泛分布。在正态分布中，标准差告诉你值与均值的距离。

如何快速找到标准差？​

如果你从视觉上查看某些观察数据的分布，可以判断其形状是相对纤细还是粗胖。较胖的分布具有更大的标准差。或者，Excel中也有内置的标准差函数，具体取决于数据集。

投资中较低标准差是否更好？​

较低的标准差不一定是更好的。这表示更多的风险，投资者可能会喜欢也可能不喜欢。在评估投资组合的偏差程度时，投资者应考虑其对波动的容忍度和总体投资目标。较激进的投资者可能会习惯于选取波动性高于平均水平的投资策略，而保守的投资者则不然。

总结​

标准差是评估风险的一种方式，特别是在商业和投资领域。它利用数据集中各点距离均值的距离来找出数据集的分散程度，从而得知其随时间的波动性。

投资者可以利用标准差来确定一次投资的稳定性或可预测性。企业则使用标准差来评估风险、管理运营和规划现金流。与任何其他统计测量一样，标准差有其优缺点，这在使用时需要考虑。

参考文献​

[1] Netcials. "Apple Inc (AAPL) Stock 5 Years History."