概率密度函数_Probability Density Function

什么是概率密度函数（PDF）？

概率密度函数（PDF）是一种统计表达式，用于定义某一结果发生的概率。在这个函数中，概率是指数据集中落在两个标准之间的分布百分比。

金融分析师使用概率密度函数来了解收益的分布，以评估投资价格和收益的风险与预期。

概率密度函数是对投资收益在特定范围内出现的频率的测量。PDF 通常以图形形式呈现，其中正常的钟形曲线表示中性市场风险，而在曲线任一端的倾斜则表示更高或更低的风险收益。

偏斜度是指曲线较高部分向左或向右的移动。如果曲线向左倾斜，右侧有较长的尾部（右偏），分析师认为这意味着获得更高收益的潜力更大。如果曲线向右倾斜，左侧有较长的尾部（左偏），分析师则认为下行风险较大。

下图展示了按正态分布的数据及钟形曲线。数据均值为中间的线，垂直线代表标准差，或数据偏离均值的程度。

均值两侧的前两条垂直线显示68.5%的数据落在均值的正负1个标准差范围内。因此，如果这是一条正常分布的股票收益曲线，你会看到68.5%的时间，收益介于-1个标准差和+1个标准差之间，且市场风险是中性的（没有偏斜）。

计算 PDF 并将其图形化可能涉及复杂的风险率计算，通常需要微分方程或积分计算。在实际中，图形计算器或统计软件包用于计算概率密度函数。

重要提示： 投资收益很少以正常分布的形式出现，因此图表通常不会呈现出干净的正态分布曲线。

概率密度函数测量连续变量——股票和投资收益通常不属于连续随机变量，而是离散的。然而，大多数金融分析师假定收益和价格是连续的，以便可以建模表现和分析风险。

下图展示了未来三年标准普尔500指数的数值，得出的结果是右偏的钟形曲线，暗示在过去三年中获得更高收益的可能性。[1]

概率密度函数（PDF）描述了在数据生成过程中观察到某种结果的可能性。PDF 可以告诉我们哪些值最有可能出现，以及哪些值不太可能出现。这取决于 PDF 的形状和特征而有所不同。

中心极限定理（CLT）指出，随机变量在样本中的分布会随着样本规模的增大而趋近于正态分布，而不论分布的真实形状。因此，我们知道抛硬币是一个二元过程，用二项分布描述（正面或反面）。

然而，如果我们考虑多次抛硬币，获得特定正反面组合的概率开始发生变化。例如，如果我们抛10次硬币，得到五个正面和五个反面的可能性最大，但连续10次正面则极为罕见。设想进行1,000次抛硬币，分布将逐渐接近正态的钟形曲线。

概率密度函数（PDF）解释在任何时刻或任何抽样中，哪些值可能出现。累计分布函数（CDF）则描绘这些边际概率的累加，最终达到100%（或1.0）的可能结果。使用CDF，我们可以看到某个变量的结果小于或等于某个预测值的可能性。

概率分布函数（PDF）描述了从样本中提取的随机变量的预期值。PDF 的形状解释了观察到某个值的可能性。

股票价格和收益倾向于遵循对数正态分布，而非正态分布，这表明相比于正态分布的预测，下行损失的发生频率高于非常大的收益。

[1] Wall Street Journal. "S&P 500 Index."