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线性关系_Linear Relationship

什么是线性关系？​

线性关系（或线性关联）是一个统计术语，用于描述两个变量之间的直线关系。线性关系可以以图形形式表达，变量和常数通过一条直线相连，或者以数学形式表达，其中自变量乘以斜率系数，再加上一个常数，从而确定因变量。

线性关系可以与多项式或非线性（曲线）关系相对比。

关键要点​

  • 线性关系（或线性关联）是一个统计术语，用于描述两个变量之间的直线关系。
  • 线性关系可以以图形形式或数学方程的形式表示，形式为 y = mx + b。
  • 线性关系在日常生活中相当常见。

线性关系的公式​

在数学上，线性关系满足以下方程：

y=mx+b其中:m=斜率b=y轴截距\begin{aligned} &y = mx + b \\ &\textbf{其中:}\\ &m=\text{斜率}\\ &b=\text{y轴截距}\\ \end{aligned}

在这个方程中，“x”和“y”是由参数“m”和“b”相关联的两个变量。从图形上看，y = mx + b 在 x-y 平面上绘制为与斜率“m”和y轴截距“b”的直线。y轴截距“b”是当 x=0 时“y”的值。斜率“m”可以通过任意两个点 (x1, y1) 和 (x2, y2) 计算得出：

m=(y2−y1)(x2−x1)m = \frac{(y_2 - y_1)}{(x_2 - x_1)}

线性关系告诉你什么？​

要合理定义为线性关系，方程必须满足三组必要的标准：表达线性关系的方程不应包含超过两个变量，方程中的所有变量必须都是一阶的，并且该方程的图形必须为一条直线。

一个常用的线性关系是相关性，它描述了一个变量随着另一个变量变化而线性变化的程度。

在计量经济学中，线性回归是一种生成线性关系以解释各种现象的常用方法。它通常用于从过去的事件推断未来的预测。然而，并非所有关系都是线性的。有些数据描述的是曲线关系（例如多项式关系），还有一些数据则无法参数化。

线性函数​

在数学上，与线性关系相似的是线性函数的概念。在一个变量的情况下，线性函数可以写成：

f(x)=mx+b其中:m=斜率b=y轴截距\begin{aligned} &f(x) = mx + b \\ &\textbf{其中:}\\ &m=\text{斜率}\\ &b=\text{y轴截距}\\ \end{aligned}

这与给定的线性关系公式相同，只是用 f(x) 替代了 y。这个替代是为了突出 x 映射到 f(x) 的含义，而使用 y 仅仅表明 x 和 y 是两个通过 A 和 B 相关的量。

c×f(A+B)=c×f(A)+c×f(B)c \times f(A +B) = c \times f(A) + c \times f(B)

线性关系的例子​

线性关系在日常生活中相当常见。以速度的概念为例，我们用来计算速度的公式如下：速度率是距离与时间之比。如果一个旅行者在加州的高速公路99上，从萨克拉门托到玛丽斯维尔行驶了44.1英里，并且整个旅程大约花了45分钟，那么他们的行驶速度将近60英里每小时。

虽然这个方程中有多个变量，但它仍然是一个线性方程，因为其中一个变量始终是常数（距离）。

线性关系还可以在方程距离 = 速度 x 时间中找到。因为距离通常是一个正数，这种线性关系将在线性图表的右上象限中表示。

如果一辆双人自行车以每小时30英里的速度行驶20小时，那么骑行者将行驶600英里。从图形上看，距离是Y轴，时间是X轴，那么在20小时内跟踪距离的线将从X和Y轴的交汇点向外延伸。

在将摄氏度转换为华氏度，或华氏度转换为摄氏度时，可以使用以下方程。这些方程在图表上表现为线性关系：

°C=59(°F−32)\degree C = \frac{5}{9}(\degree F - 32)

°F=95°C+32\degree F = \frac{9}{5}\degree C + 32

假设自变量是房屋的面积（以平方英尺计算），它与房屋的市场价格（因变量）之间的关系为：房屋面积乘以斜率系数207.65后，加上常数10,500。如果一所房屋的面积为1250平方英尺，则其市场价值为(1,250x207.65)+10,500。如果一所房屋的面积为1250平方英尺，则其市场价值为 (1,250 x 207.65) + 10,500 = $270,062.50。在图形和数学上，它看起来如下：

在这个例子中，随着房屋面积的增加，房屋的市场价值线性增加。

某些对象之间的线性关系可以称为“成比例关系”。该关系表现为：

Y=k×X其中:k=常数Y,X=成比例的量\begin{aligned} &Y = k \times X \\ &\textbf{其中:}\\ &k=\text{常数}\\ &Y, X=\text{成比例的量}\\ \end{aligned}

在分析行为数据时，变量之间很少存在完美的线性关系。但是，数据中往往能够找到形成粗略线性关系的趋势线。例如，可以观察冰淇淋的每日销售额与每日最高温度作为在图表中交互的两个变量，并找到二者之间的粗略线性关系。

什么是正线性关系？​

正线性关系在图表中表现为向上的直线。这意味着如果一个变量增加，另一个变量也会增加。相反，负线性关系则在图表中显示为向下的直线；如果一个变量增加，另一个变量则会减少。

什么是非线性关系？​

非线性关系可以通过在图表上看到的散点图来表现，其遵循某种模式，但该模式不是线性的，意味着表示不是一条直线。

举个统计学中的线性关系例子？​

线性关系的一个例子是按小时支付工资的工人。他们工作的小时越多，所获得的钱也就越多。这个关系是线性的，因为每增加一个工作小时，将对应于收入的同等增加。

总结​

统计学中的线性关系显示了两个变量之间的直线关系。它通常展示了两个变量之间的相关性。尽管没有完美的行为关系能生成真正的线性关系，但数据中通常可发现趋势以假设其存在。

参考文献​

No references found.