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调和平均数_Harmonic Mean

什么是调和平均数？​

调和平均数是一种数值平均值，广泛应用于金融领域，例如在计算市盈率等倍数时。它的计算方法是将观测值的数量除以每个数的倒数的总和。因此，调和平均数是倒数的算术平均数的倒数。[1]

关键要点​

  • 调和平均数是倒数的算术平均数的倒数。
  • 调和平均数用于金融领域，以平均市价倍数等数据。
  • 市场技术分析师也可以利用调和平均数识别如斐波那契数列等模式。

计算与公式​

要计算1、4和4的调和平均数，需要将观测值的数量除以每个数的倒数之和，如下所示：

3(11 + 14 + 14) = 31.5 = 2\frac{3}{\left(\frac{1}{1}\ +\ \frac{1}{4}\ +\ \frac{1}{4}\right)}\ =\ \frac{3}{1.5}\ =\ 2

调和平均数在金融及市场的技术分析中有着广泛的应用。它有助于在不考虑公分母的情况下寻找分数之间的乘法或除法关系。调和平均数通常用于计算多个旅行的平均旅行速度等比率。

重要提示： 一个数字 n 的倒数就是 1 / n。

使用加权调和平均数​

加权调和平均数在金融中用于计算市盈率等倍数的平均值，因为它给每个数据点相同的权重。[2] 而加权算术平均数则给予高数值更大的权重，相比之下，低数值的影响较小，因为市盈率并未经过价格标准化，而收益值则已被平衡。

当权重均为1时，调和平均数就是加权调和平均数。x1, x2, x3 的加权调和平均数及其对应权重为 w1, w2, w3 的计算公式为：

∑i=1nwi∑i=1nwixi\displaystyle{\frac{\sum^n_{i=1}w_i}{\sum^n_{i=1}\frac{w_i}{x_i}}}

算术平均数与几何平均数​

调和平均数、算术平均数和几何平均数三者统称为毕达哥拉斯平均数。三者之间的区别使它们适用于不同的用途。

算术平均数是将一系列数字的总和除以这些数字的数量。要计算考试成绩的班级（算术）平均分，只需将所有学生的考试成绩相加，然后将总和除以学生人数。

几何平均数是一组乘积的平均值，这一计算通常用于确定投资或投资组合的表现结果。严格来说，几何平均数被定义为 "n 个数字的 n 次根的乘积"。在处理由数值得出的百分比时必须使用几何平均数，而标准的算术平均数是直接通过数值本身计算的。

注意： 调和平均数最适合用于诸如比率或倍数的分数。

调和平均数的例子​

一家公司的市值为1000亿美元，收益为40亿美元（市盈率为25），而另一家公司的市值为10亿美元，收益为400万美元（市盈率为250）。在一个由这两只股票组成的指数中，10%的投资在第一只股票上，90%的投资在第二只股票上，则该指数的市盈率为：

使用加权算术平均数：P/E=0.1×25+0.9×250=227.5使用加权调和平均数：P/E=0.1+0.90.125+0.9250≈131.6其中：WAM=加权算术平均数P/E=市盈率WHM=加权调和平均数\begin{aligned}&\text{使用加权算术平均数：P/E} = 0.1 \times 25 + 0.9 \times 250 = 227.5\\\\&\text{使用加权调和平均数：P/E} = \frac{0.1 + 0.9}{\frac{0.1}{25} + \frac{0.9}{250}} \approx 131.6\\&\textbf{其中：}\\&\text{WAM} = \text{加权算术平均数}\\&\text{P/E} = \text{市盈率}\\&\text{WHM} = \text{加权调和平均数}\end{aligned}

加权算术平均数显著高估了市盈率的平均水平。

优势与劣势​

调和平均数包含系列中的所有条目，如果任何项被排除，则无法计算。使用调和平均数能給予系列中较小值更大的权重，并且可以针对包含负值的系列进行计算。与算术平均数和几何平均数相比，调和平均数产生的曲线更为平滑。

然而，使用调和平均数也有一些缺点。由于需要使用系列中数字的倒数，因此调和平均数的计算可能较为复杂且耗时。如果系列中包含零值，则无法计算调和平均数。最后，系列中极端的高值或低值会对调和平均数的结果产生显著影响。

调和平均数与算术平均数的区别是什么？​

调和平均数是通过将观察值的数量除以每个数字的倒数来计算的。相比之下，算术平均数只是将一系列数字的总和除以该系列中的数字数量。调和平均数等于倒数的算术平均数的倒数。

何时使用调和平均数？​

调和平均数最适合用于诸如比率或倍数的分数。调和平均数在金融中被用于计算市盈率等价格倍数的数据平均。市场技术分析师可能还会利用调和平均数识别诸如斐波那契数列等模式。

什么影响调和平均数的计算？​

调和平均数涵盖了系列中的所有条目，并给予较小值更多的权重。调和平均数可以计算包含负值的系列，但如果系列包含零值，则无法进行计算。

总结​

调和平均数是通过将一系列中的条目数量除以每个数字的倒数来计算的。调和平均数与其他类型的毕达哥拉斯平均数——算术平均数和几何平均数——的不同之处在于使用倒数，并给予较小值更大的权重。

参考文献​

[1] MathIsFun. "Harmonic Mean."

[2] Agrrawal, Pankaj; Richard Borhman; John M. Clark; and Robert Strong. "Using the Price-Earnings Harmonic Mean To Improve Firm Valuation Estimates." Journal of Financial Education, vol. 36, Fall/Winter 2010, Pages 11-23.