随机变量_Random Variables

什么是随机变量？

随机变量是一个其值未知的变量，或是一个将值分配给实验结果每个可能性的函数。随机变量通常用字母表示，分为离散型和连续型，前者的值是特定的，而后者的值可以取自一个连续的范围。

在计量经济学或回归分析中，随机变量常被用来确定彼此之间的统计关系。

关键要点

• 随机变量是一个其值未知或为实验结果分配值的函数。
• 随机变量可以是离散型（具有特定值）或连续型（在一个连续范围内的任何值）。
• 随机变量在概率和统计中最为常见，用于量化随机事件的结果。
• 风险分析师使用随机变量来估算不利事件发生的概率。

理解随机变量

在概率和统计领域，随机变量用于量化随机事件的结果，因此可以取多个值。随机变量必须是可测量的，通常为实数。例如，字母 X 可以用来表示三颗骰子掷出后的和。在这种情况下，X 可以是 3（1 + 1 + 1）、18（6 + 6 + 6），或者在 3 到 18 之间的任何值，因为骰子的最高值是 6，而最低值是 1。

随机变量与代数变量不同。代数方程中的变量是一个未知的值，可以被计算。方程 10 + x = 13 显示可以计算出 x 的具体值为 3。而随机变量则有一组值，这些值中的任何一个都可能是最终结果，如上述骰子的例子。

在企业世界中，随机变量可以指诸如某一资产在特定时间段内的平均价格、投资在指定年限后的回报、公司在接下来的六个月内的预计流失率等属性。风险分析师在估算不良事件发生的概率时，会将随机变量分配给风险模型。这些变量通过场景和敏感性分析表等工具呈现，风险管理者利用这些工具做出有关风险缓解的决策。

随机变量的类型

随机变量具有概率分布，表示可能值发生的可能性。例如，假设随机变量 Z 是某次投掷骰子时上面朝上的点数，那么 Z 的可能值为 1、2、3、4、5 和 6。每个值出现的概率都是 1/6，因为这些值出现的可能性是相等的。

例如，投掷骰子得到 3 的概率 P(Z=3) 为 1/6，得到 4、2 或骰子的其他任意数字的概率也是 1/6。注意所有概率的总和为 1。

随机变量可以是离散型或连续型。

离散随机变量具有可计数的独特值。例如，一个实验中投掷硬币三次。假如 X 代表硬币朝上为正面（heads）的次数，那么 X 只能是 0、1、2 或 3（从三次投掷中没有正面到全部为正面）。X 不可能有其他值。

连续随机变量可以在指定范围或区间内代表任何值，并且可以取无限多个可能值。例如，一个连续随机变量的实例可以是测量某城市一年内的降雨量，或者测量随机挑选的 25 个人的平均身高。

继续以此推论，如果 Y 代表随机选取的 25 人的平均身高的随机变量，那么结果将是一个连续的数值，因为身高可能是 5 英尺、5.01 英尺或 5.0001 英尺。显然，身高有无限多个可能值。

随机变量的例子

随机变量的典型例子是硬币投掷的结果。考虑一个概率分布，其中随机事件的结果发生的可能性不均等。如果随机变量 Y 是我们从投掷两个硬币中得到的正面数量，那么 Y 可以是 0、1 或 2。这意味着我们可能没有正面、一枚正面，或两枚正面。

然而，两个硬币可以落成四种不同的组合：TT（两枚都是反面），HT（第一枚正面，第二枚反面），TH（第一枚反面，第二枚正面），HH（两枚都是正面）。因此，P(Y=0) = 1/4，因为在投掷时我们只有一种情况能得到零个正面（即两个反面 [TT]）。类似地，得到两个正面（HH）的概率也是 1/4。注意，得到一枚正面的可能性在 HT 和 TH 中各出现一次。所以 P(Y=1) = 2/4 = 1/2。

随机变量的两种类型是什么？

随机变量可以分为离散型和连续型。离散随机变量是一种计数值有限的随机变量，例如正面或反面、扑克牌或骰子的一面。连续随机变量则可以表示任意数量的潜在值，例如某地区的平均降雨量。

什么是混合随机变量？

混合随机变量结合了离散和连续随机变量的元素。

如何识别随机变量？

随机变量是其值不确定或者基于某些数据生成过程或数学函数分配随机值的变量。

随机变量为何重要？

随机变量基于实验、观察或其他数据生成过程生成概率分布。通过这种方式，随机变量使我们能够根据样本数据理解周围的世界，知道特定值在现实中或未来某个时间点发生的可能性。

总结

随机变量，无论是离散型还是连续型，都是统计和实验中的一个关键概念。由于它们是随机的且确切值未知，因此使我们能够理解这些值的概率分布或某些事件的相对可能性。因此，分析师可以检验假设，并对我们周围的自然世界和社会世界做出推断。