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HJM模型_Heath-Jarrow-Morton Model

什么是Heath-Jarrow-Morton (HJM)模型？​

Heath-Jarrow-Morton模型（HJM模型）用于建模远期利率。这些利率随后被建模到现有的利率期限结构中，以确定对利率敏感证券的适当定价。

主要要点​

  • Heath-Jarrow-Morton模型（HJM模型）通过一个允许随机性的微分方程来建模远期利率。
  • 这些利率随后被建模到现有的利率期限结构中，以确定对诸如债券或掉期等利率敏感证券的适当价格。
  • 目前，该模型主要被寻求套利机会的套利者以及为衍生品定价的分析师使用。

HJM模型的公式​

一般来说，HJM模型及其基础框架的模型遵循如下公式：1

df(t,T)=α(t,T)dt+σ(t,T)dW(t)其中:df(t,T)=到期为T的零息债券的瞬时远期利率，被假设满足上述随机微分方程。α,σ=适应的W=在风险中性假设下的布朗运动（随机游走）\begin{aligned} &\text{d}f(t,T) = \alpha (t,T)\text{d}t + \sigma (t,T)\text{d}W(t)\\ &\textbf{其中:}\\ &\text{d}f(t,T) = \text{到期为T的零息债券的瞬时远期利率，}\\ &\text{被假设满足上述随机微分方程。}\\ &\alpha, \sigma = \text{适应的}\\ &W = \text{在风险中性假设下的布朗运动（随机游走）}\\ \end{aligned}

HJM模型告诉你什么？​

Heath-Jarrow-Morton模型非常理论化，主要用于金融分析的高级阶段。它主要被寻求套利机会的套利者以及为衍生品定价的分析师使用。HJM模型预测远期利率，其起点是所谓的漂移项和扩散项的总和。远期利率的漂移由波动性驱动，这一现象称为HJM漂移条件。从基本意义上讲，HJM模型是任何由有限数量布朗运动驱动的利率模型。

HJM模型基于经济学家David Heath、Robert Jarrow和Andrew Morton在1980年代的工作。这三位学者在1980年代末和1990年代初撰写了一系列重要论文，为该框架奠定了基础，诸如《债券定价与利率期限结构：离散时间近似》、《具有利率随机演化的或有索赔估值》和《债券定价与利率期限结构：一种新型的或有索赔估值方法》。[1]

基于HJM框架的各种附加模型也相继出现。它们通常旨在预测整个远期利率曲线，而不仅仅是短期利率或曲线上的其他点。HJM模型的最大问题在于其维数无限，使得计算几乎不可能。各类模型设法以有限状态表达HJM模型。

HJM模型与期权定价​

HJM模型也用于期权定价，期权定价是指寻找衍生品合约的公允价值。交易机构可能会利用模型为期权定价，以发现低估或高估的期权。

期权定价模型是利用已知输入和预测数值（如隐含波动率）来寻找期权的理论价值的数学模型。交易者将使用某些模型来确定某一时点的价格，根据风险的变化更新价值计算。

对于HJM模型，计算利率掉期的价值的第一步是基于当前期权价格形成折现曲线。从该折现曲线可以得到远期利率。随后，需要输入远期利率的波动性，如果波动性已知则可以确定漂移。

参考文献​

[1] David Heath, Robert Jarrow and Andrew Morton. "Bond Pricing and the Term Structure of Interest Rates: A Discrete Time Approximation". Journal of Financial and Quantitative Analysis, vol. 25, no. 4, 1990, pp. 419-440.